Encadrement d'une aire

Le plan est muni d'un repère orthonormé d'unité 1 cm.

Soit $mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f:x\mapsto x^2$  définie sur  $\mathbb{R}$ .

Le but de l'exercice est de déterminer un encadrement de l'aire $S$ , en cm ${}^2$ , de la surface hachurée en rouge. Celle-ci correspond à la partie du plan comprise entre $mathcal{C}_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=3$ .

1. On considère les points A et B de la courbe $mathcal{C}_f$ d'abscisses respectives $a=1$ et $b=3$ , ainsi que leurs projetés orthogonaux respectifs H et H' sur l'axe des abscisses.

   a. Déterminer les coordonnées des points A et B.

   b. En observant la figure, que pouvez-vous dire de la position relative du segment [AB] par rapport à $mathcal{C}_f$  ?

   c. Calculer l'aire, en cm ${}^2$ , du trapèze AHH'B.

   d. En déduire que $S<10$ .

2. On a tracé sur le graphique la tangente  $\mathcal{T}$ à $mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x=2$ .

    a. Déterminer $f^{\prime }(2)$ par lecture graphique.

    b. En déduire l'équation réduite de $\mathcal{T}$ .

    c. Démontrer que H appartient à $\mathcal{T}$ .

    d. Calculer les coordonnées du point E appartenant à  $\mathcal{T}$ et d'abscisse $x_{\text{E}}=3$ .

3. a. En observant la figure, que peut-on dire de la position relative du segment [EH] par rapport à $mathcal{C}_f$  ?

    b. Calculer l'aire,   en cm ${}^2$ , du triangle HH'E.

4. Déduire des questions précédentes un encadrement de $S$ par deux entiers.